Algèbre linéaire Exemples

$x + 5 z = 0$ , $y + 2 z = 0$ , $w = 0$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$w = 0$

$x + 5 z = 0$

$y + 2 z = 0$

Étape 4

Soustrayez $5 z$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5 z$

$w = 0$

$y + 2 z = 0$

Étape 5

Soustrayez $2 z$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2 z$

$w = 0$

$x = - 5 z$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(0, - 5 z, - 2 z, z)$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 5 z \\ - 2 z \\ z \end{array}]$